1、文章引言
    　　多股線可以用來減小渦流電流損耗，否則嚴重的渦流電流損耗將限制高頻磁性元件的性能。不過多股線的價格十分昂貴，設計者們往往避免使用它。本文提出了一種考慮價格的設計方法。在不增加損耗的同時大幅度地降低價格，或者，允許設計者在任何給定價格的前提下選擇損耗最低的設計方案。在一個具體的設計實例中，系統的價格比憑經驗設計的價格降低了五倍多，同時損耗也并未增加。
    　　許多人都計算過多股線變壓器繞組的損耗，卻很少研究涉及到下面的設計問題：如何為一個特定的應用，選擇多股線的直徑和股數。有人計算出了損耗最小的最佳股線參數。但是這樣的設計，會使價格相當昂貴，而且與可能實現的低價格方案相比，其損耗的減少僅僅少了一點。盡管也提到了在最小股線直徑或最大股數限制條件下的股線的選擇，但是真正的限制條件應該是價格而不是上面的這些因素。
    　　本文中的價格分析分為兩個層次完成。首先，假設描述多股線損耗函數的一般公式。這樣在給定變壓器繞組的情況下，給出了價格函數的一般分析結果，描述出選擇的最佳線。第二個層次中，雖然結果的一般性有所減少，價格函數呈現顯式，從制造商的價格行情所擬合的多項式曲線獲得的，更具明顯性。本文用一個設計實例概述并詳細說明了一種可應用于普遍情況，卻以特定價格函數為形式的設計方法。
    　　許多的繞組損耗分析只提到了正弦電流波形，不過高頻功率變換中的磁性元件卻很少有接近正弦的波形。一部分作者已經研究出了將繞組損耗分析擴展到非線性波形分析的方法。其中特別有趣的是"有效頻率"，因為這種方法允許使用無需修改的基于正弦波形的優(yōu)化。 
    　　2、損耗模型

    　　多股線繞組中的趨膚效應和鄰近效應可以分為束層效應(bundle level)和股層(strand level)效應，如圖1所示。選擇合適的結構，股層的鄰近效應起主要作用，因此在選擇股數時必須對其加以考慮。
    　　繞組損耗表示如下：
    　　Ploss=FrIac2Rdc (1)
    　　式中Fr是聯系直流電阻和交流電阻的因子，Iac是正弦電流的給定有效值幅度 ，從而決定所有的繞組損耗。正如附錄A中討論的，內部和外部的股層鄰近效應損耗可以用下面的近似表達式：

　　(2)

    　　式中：ω正弦電流的角頻率;n股數;N匝數;dc每股中銅線的直徑;pc銅導線的電阻系數;bc線芯的窗口區(qū)域寬度;k附錄A中定義的因子，它能夠解釋多繞組變壓器中的磁場分布，一般情況下該因子等于1。
    　　對于帶有直流分量的波形以及某些非正弦波形，可推導出一個等效頻率并將其應用在本分析中。電感器中，繞組區(qū)域內的磁場由氣隙結構決定，不能直接用本公式。
    　　3、價格分析
    　　目前，價格定量的學術分析問題仍未得到解決。價格隨體積、制造商、時間和流通變化。但是，許多重要的結論只取決于價格函數的一般形式。附錄中推導的最佳價格/損耗折衷設計的一般解，僅僅取決于一個假設，即多股線長度的價格可以用下式近似表示：
    　　Cost=(Co+Cm(dc)dc2n)l. (3)
    　　式中:Co表示與捆包及服務運作有關的每單位長度的基本價格;Cm(dc)價格基本函數，在給定股線直徑dc的情況下，它正比于每單位體積的附加價格;n股數;l導線長度。
    　　由于并沒有Cm(dc)函數的特定形式，公式(3)中，不失一般性地假設Cm僅取決于dc，而與n無關。對多股線制造商進行的定價調查表明，該假設近似有效。注意，為了在繞組長度固定情況下優(yōu)化，可以忽略Co，只考慮正比于Cm(dc)dc2n的價格變化量。
    　　要了解有關價格變化的知識，給出明確的數字結果，求得Cm(dc)近似表達式是會有用的。從制造商們的定價中可以發(fā)現，導線直徑很大時，下面公式的值便歸一化為1，而且在很大的n值和dc值范圍內都是個很好的近似公式。

 　　(4)

 

    　　式中，dc以米為單位， k1=1.1×10-26米6，k2=2×10-9米2。該函數與每單位質量的價格成正比，如圖2所示，圖中還畫出每單位長度的歸一化價格值 。直徑很大時， 近似為常數，不過在接近40AWG時，它開始急劇增大。值得注意的是44AWG處每單位長度的價格最小。48AWG處，每單位長度的價格顯著增大，而且每單位質量的價格也劇烈增加。很少有制造商能夠供應使用更細股線的結構，盡管公式(4)并不是基于此點以外的數據建立的，但是在該點以外，曲線仍快速增長。雖然(4)表示的是一個平滑函數，但是標準尺寸的導線比任選尺寸的導線更便宜，所以實際的價格函數有明顯的紋波。特別是，偶股數尺寸的導線一般比奇股數尺寸的導線更便宜，更容易得到。還對體積十分敏感，體積足夠大時，使用奇股數的甚至是專門訂做的尺寸，也不會受到懲罰。因此，本文的分析將它忽略不計，假設價格由上面給出的平滑函數表示。
    　　4、股數及股線直徑的選擇
    　　股數和股線直徑選擇的設計可以化為一個二維空間來加以說明。在繞滿骨架的情況下，空間內可供選擇的點形成一條直線，價格和損耗之間的折衷，也就變成了該直線上各點的價格和損耗的簡單估計。然而在價格受限制的情況下，繞滿骨架通常都不是最好的，于是我們就必須選擇二維空間內的一點，而不是簡單的選取直線上的一點。
    　　本節(jié)中將結合圖形使用近似的曲線擬合價格函數公式，研究股線直徑/股數空間。附錄中給出了獨立于價格函數公式(4)的更具一般性的等效結果的代數推導。

    　　可以將(3)和(4)給出的總價格，表示成股線尺寸和股數空間內的一組價格等值線(如圖3所示)。這些曲線是價格值相等的曲線，可以將圖2中的每單位長度的價格曲線壓扁，來理解這些曲線的形狀。 當尺寸接近44AWG時，每單位長度的導線價格下降，所以在相同價格下可以買到更多的股線。因此圖3中的曲線，在每單位長度價格最小的導線規(guī)格處，股線數量達到最大。

 

 

    　　在任意給定的價格等值曲線上，最好的設計是選擇損耗最小的點。圖4畫出損耗等值線和圖3中的價格等值線。這些曲線都是根據一個設計實例繪制的，即在一個RM5尺寸的鐵氧體磁心上繞14匝線圈，并在線圈中通1MHz電流。骨架的寬度為4.93mm，鐵心窗口的寬度為6.3mm。損耗與FrRdc成正比，因此損耗等值線可由公式(2)和簡單的直流電阻計算公式算出。每條價格等值線與損耗等值線集合中曲線的切點處的損耗最小。在任意給定的損耗約束條件下，這組點集也是價格最小的點集。如圖4所示。也可以以價格和損耗為坐標軸繪出相同的這些點，這樣設計者可以從中選擇合適的折衷值(見圖5)。

    　　不考慮設計參數，價格/損耗折衷曲線有著相同的形狀，如圖5所示。因此，歸一化為相同參考股線直徑的價格/損耗曲線與圖5中的曲線完全相同，其中價格和損耗都已經以44AWG線規(guī)的價格與損耗值歸一化為基準。只要骨架未繞滿，就可以使用該曲線估計任何設計中的價格/損耗折衷值。注意，圖中的點并不表示該線規(guī)的最低損耗設計，而是表示給定價格時的最低損耗設計，圖中還給出實現該設計的線規(guī)尺寸。
    　　可以用一組最佳價格/損耗設計的 值(如圖6所示)的形式給出實現圖5中任意選擇點的設計所需的剩余信息。與圖5相同(但與圖4不同)，圖6畫出了用于骨架未繞滿的任何變壓器設計的一般結果。該結果僅由價格函數(4)式決定。
    　　附錄中從理論上推導圖5和圖6所示的結果。為了畫出圖6，可以用

　　(5)

    　　其中，Cm(dc)為任意給定的價格函數。
    　　附錄中還包含一個系數　　(6)

    　　式中C1是減去常數項C0后的價格，且總損耗

　　(7)

    　　對任何價格函數 ，都可以把dc看作是一個參數，用等式(6)和(7)產生如圖5中的那些點。
    　　5、設計實例
    　　本節(jié)中，將詳細地闡述上述結果在一個具體設計實例中的應用。
    　　該實例是一個30匝對30匝的變壓器，原邊和副邊都繞在一個EC-70鐵氧體磁心上，其中兩邊繞組中都通有150kHz，有效值80A 的正弦波電流。就所求的目標而言，不一定要知道電壓，為具體起見，可以假設并聯負載諧振變換器中為方波電壓300V(峰-峰值電壓600V )。這在一個典型的功率鐵氧體材料中，產生幅度為60mT的磁通，約1.4W的鐵心損耗，輸出功率2160W。鐵心窗口寬度 bc=44.6mm，骨架允許有 bω=41.5mm乘以24mm高的繞組區(qū)域，兩個繞組都占據12mm的高度。
    　　一個標準的設計過程可能以制造商的貨物價目表為起點，它推薦100kHz到200kHz范圍內的40AWG的多股導線。在分配的窗口區(qū)域內放30匝線圈，每個標準40AWG最多可能有1100股線束。正如制造商的應用說明所指出的，對內部鄰近效應損耗的分析，預測出這種結構的交流電阻因數為1.19，表面上似乎與貨物價目表中的介紹相吻合。但是這只對于單個被隔離的多股線是正確的，并未考慮典型變壓器中控制交流電阻的外部鄰近效應。用(2)式精確地預測線束的交流電阻，可以得到交流電阻因數Fr =9.2。根據熱阻的經驗值7℃/W，為將使每個繞組都產生5.6W的損耗(包括所有的繞組損耗和鐵心損耗)，而且總溫升為87℃。
    　　在股線尺寸遠大于一個趨膚深度時，(2)式無效。在一個好的多股線設計中，股線尺寸一般都不會那么大，不過此處的設計還遠不是一個好設計，所以進行檢查是必要的。150kHz時銅的趨膚深度約為0.17mm(33AWG或34AWG導線的直徑)，所以在此范圍內(2)式有效。注意，即便是設計并未經過精心選擇，其交流電阻仍比任何單股設計低。在這種情況下，最好的單股設計就是采用單層繞組，也幾乎會使交流電阻比第一次設計的增加3倍。

    　　現在將第4節(jié)中得到的結果應用在這個變壓器上。首先，假定用44AWG的導線并計算出股數來獲得如圖6所示的相應交流電阻因數(也如表1所示)。于是得到Fr =1.535，且44AWG的股數為1131。盡管這比第一次設計的直流電阻大(#40線1100股)，但它的總交流電阻降低59%，此外，預計相對價格也會減少25%。
    　　表2匯集了本次以及一些更為深入的設計數據。顯示的價格和損耗數據既歸一化到根據制造商樣本數據的初始設計，也歸一化到這種全新的用44AWG導線的最佳價格/損耗設計。后一種歸一化值，圖5繪出了各種可能的價格/損耗。從圖上，立刻就可以選出所需的價格/損耗折衷值。例如，可以選擇保持損耗固定在初始設計值上不變，或者進一步優(yōu)化找出最小的總價格，其中包括設備壽命期內消耗的能量所需的價格，以及其它一些由于工作效率較低和熱量產生較多所間接導致的價格。
    　　表2中的設計包含100股的38AWG線，損耗與原來的設計相同 ,而價格只是原先的13%，還有1050股44AWG導線，這是一種標準的產品樣本結構，其價格和損耗值接近于計算選出的1131股相同尺寸的導線的。采用這種設計，可以在不增加價格的同時使溫升從原來的87℃降到42.5℃。

 

    　　作為對照，表2還列出了用其他方法計算出的最低損耗設計方案。對這種變壓器，用220000股的63AWG導線將產生最小的損耗。(4)式得出的這種股線尺寸的價格估計值一點也不精確，不過可以肯定的是，如果能夠制造出那種多股導線，價格會很高。但是如果真有這種可能，63AWG線的損耗減小為1050的44AWG線損耗的四分之一。表2還包括一個48AWG的設計方案，用來形象地說明一種更加實用的高損耗、低價格方案。
    　　表2還包括根據(4)式預測的相對價格和從兩位制造商處引用的實際相對價格。這些引用數據分別從用于產生與(4)擬合的曲線所引用的數據中獲得的，因此提供了一個獨立地用(4)式預測準確度的機會。用38AWG設計，兩個制造商的歸一化價格為0.17和0.12，相差35%，估計值0.13落在兩者之間。用1050股44AWG設計，兩個制造商的歸一化價格為0.98和0.75，相差27%，而估計值0.69比兩個實際價格都低，低35%或8%?？傊?，不要指望(4)式給出的價格估計值能夠精確到35%以下，只能用它指導價格的大概趨勢。正如在第3節(jié)中所說的，(4)式的平滑曲線只是一種理想化曲線，并不包括許多可能在某個特定供貨商定價上的許多怪招。聰明的設計者會和供貨商仔細地探討這些問題。數量較少的股線，允許用不同的設備，或者數量較大的股線，可以標準化地生產并大批量存儲，就可能存在一些本文分析未抓住的降低價格的機會。在找到理論上的最佳設計方案后，再研究一下可能的調整方案。
    　　(3)式中設下的不變價格也限制了價格估計的準確度。不過這并不影響最佳值的位置，但是卻確實影響到了估計價格的準確度，而且確定出引用價格的固定部分，將會提高估價的準確性。然而，給定估價中的最大誤差為35%，即等于歸一化價格與兩制造商價格之間的最大差別，價格準確度就不會有大的提高。已經證實了這種模型和方法在任何情況下都能有效地減少價格或損耗。尤其是1050股的44AWG的設計，在低于原先價格的情況下減小了58%的損耗，在損耗不變時，100股的38AWG的設計，價格不足原來的1/5。
    　　假設產品連續(xù)工作，且能源的價格為0.1美元/kWh，計算出包括能源在內的總設計價格。比較年平均價格和投資價格，其中價格恢復率為0.15，例如，壽命10年，折舊率為8.5%。使消耗1W所需的總能源價格的實際值為5.84美元。對這一特定例子來說，44AWG設計方案導線價格和能源價格最低。分析忽略了其它一些與額外能源消耗有關的價格，主要包括熱效應和發(fā)電對環(huán)境的影響。熱效應有可能降低可靠性或可能因需要散熱器和電扇等引起價格增加。即便是加入所有的這些價格，這種價格較高的低損耗設計仍是值得做的。
    　　6、設計流程

    　　圖7給出一個推薦的設計流程圖。利用前面圖中給定的數據和表1中收集的標準股線尺寸，產生出任意給定價格的最低損耗(或損耗一定的最低價格)設計方案。這個流程可在計算機上實現。不過，因為它需要用戶根據價格/損耗折衷做出決定，所以這個流程并不是全自動的。另外，向制造商咨詢獲得實際的當前報價也很有價值，而且在繞滿骨架的情況下，有必要用實驗測量填充系數。

    　　圖8進一步探索在可用的導線尺寸限制條件下可供選擇的的結構。圖中不但包括圖5的理想化價格/損耗折衷曲線而且還繪出任意尺寸導線的曲線。很明顯，對一些規(guī)格數較小的導線(40AWG以下)，確切的導線尺寸并不十分重要，因為鄰近尺寸的導線，具有相似的價格和損耗性能。但是對較細的導線就有更多的必要去考慮用奇數的股線尺寸。該導線的實際價格可能取決于購買的數量，因此不可能判定什么時候它是經濟的。不過圖8強調了值得考慮之處。
    　　附錄1 損耗計算
    　　有人討論過Fr表達式(2)的來源。為方便讀者，這里再簡要回顧一下。首先，考慮一個處于均勻磁場中的導電圓筒內的損耗，磁場方向垂直于圓筒軸線，并假設圓筒內的磁場也是恒定的，也就是假設直徑小于一個趨膚深度，長度為l的導線內消耗的功率P為：

　　(8)

    　　式中B為磁通密度峰值。P為推廣貝塞爾函數精確解的第一項。
    　　結合繞組中分布一梯形磁場的假設，就可以得到(2)式。繞組內磁場增加呈線性是由于考慮到繞組中所有電流的作用。此處并不需要將某個多股線中其它股線的影響與其它多股線的影響分開，因為那樣做只會使計算更加復雜。對繞組一邊磁場不為零的結構而言，可以使用因子來解釋由此產生的損耗變化，式中。 假設多股導線每股共享相同的電流。如果已選定的多股線結構，是用來控制導線束層趨膚效應和鄰近效應的，那么這便是一個很好的近似。
    　　附錄2 最佳價格-損耗曲線的推導
    　　引入固定項ζ，表達式(2)可以簡化為

　　(9)

    　　給定價格C1，我們希望找到合適的n和dc使總損耗最小。總損耗正比于總電阻因子Frt。

　　(10)

    　　式中Fdc為多股線直流電阻與單股繞組直流電阻的比值，其中單股繞組線的直徑等于多股絞線的直徑?；谶@種定義，

　　(11)

    　　式中dcss為能夠容納的最大單股導線直徑。為優(yōu)化起見，可以去掉這個常量，于是有

　　(12)

    　　為使總損耗最小，保持價格不變，可以用(3)式消去(12)式中的n，得到

　　(13)

    　　式中C1是(3)式減去固定項C0后的有效價格。將表達式對dc求導后等于零，可得

　　(14)

    　　式中Cm′(dc)為Cm(dc)對dc的導數。
    　　給定表達式Cm(dc)和有效價格C1，(14)式可以解出最佳的dc值。但是，可能推導出若干個更加一般的結果，這些結果能夠繪出圖5和圖6，還可供其它參考。解出(14)式中的ζ并將結果代入(11)，然后用(3)消去n，得到

　　(15)

    　　該式描述導線尺寸和最佳價格/損耗值Fr之間的關系并記為Fr，CL(dc)，如圖6所示。(15)式:
    　　與常數ζ中的具體設計細節(jié)的相互獨立性表明了該結果的普遍性。
    　　圖5顯示的關系的一般性如下所示。由(14)式可得

　　(16)

    　　或

　　(17)

    　　利用關系式 ，可寫出

　　(18)

    　　因此，由(17)式

　　(19)

    　　如果將(19)和(17)式歸一化，如圖5所示，就可以丟掉對特殊設計問題有效的常量ζ和dcss。因此，可以用參數為dc的(19)和(17)式繪出任意給定價格函數的歸一化價格和損耗曲線。圖5畫出了(4)式的歸一化價格和損耗曲線。
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